I. Một số khái niệm về công thức hình học 12 khối đa diện cần nhớ.

1. Khái niệm.

 

Hình đa diện: được tạo ra từ một số hữu hạn những đa giác phẳng, phù hợp tính chất sau:

+ Giữa 2 đa giác phân biệt chỉ có thể có điểm chung hoặc không. Nếu có điểm chung có thể rơi vào trường hợp đỉnh chung hoặc cạnh chung.

+ Mỗi cạnh bất kì của đa giác nào cũng là cạnh chung của chỉ đúng 2 đa giác.

Khối đa diện: được xét là phần không gian nằm trong hình đa diện, tất nhiên sẽ bao gồm luôn cả hình đa diện đó.

Khối đa diện nếu được giới hạn bởi hình lăng trụ sẽ gọi là khối lăng trụ, tương tự, nếu được giới hạn bởi khối chóp thì gọi là khối chóp,...

Trong tính toán ta thường đề cập đến khối đa diện lồi: tức là một khối đa diện (H) thỏa mãn nếu nối 2 điểm bất kì của (H) ta đều thu được một đoạn thẳng thuộc (H).

Cho một đa diện lồi, ta có công thức Ole về liên hệ giữa số đỉnh D, số cạnh C và số mặt M: D-C+M=2.

Khối đa diện đều loại {m;n} là:

+ Khối đa diện lồi.

+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng m mặt.

+ Mỗi mặt là một đa giác đều n cạnh.

+ Giả sử khối đa diện đều loại {m;n} có D đỉnh, C cạnh và M mặt thì ta có đẳng thức:

nD=2C=mM

Một số khối đa diện lồi thường gặp:

Ví dụ về khối đa diện:

Ví dụ về khối hình không phải đa diện:

2. Phân chia, lắp ghép khối đa diện.

 

Những điểm không thuộc khối đa diện gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm ngoài gọi là miền ngoài. Điểm thuộc khối đa diện nhưng không nằm trên hình đa diện bao ngoài được gọi là điểm trong khối đa diện, tương tự, tập hợp các điểm trong tạo nên miền trong khối đa diện.

Cho khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) thỏa mãn, (H1) và (H2) không có điểm chung trong nào thì ta nói (H) có thể phần chia được thành 2 khối (H1) và (H2), đồng thời cũng có thể nói ghép hai khối (H1) và (H2) để thu được khối (H).

Ví dụ: Cắt lăng trụ ABC.A’B’C’ bởi mặt phẳng (A’BC) ta thu được hai khối đa diện mới A’ABC và A’BCC’B’.

3. Một số kết quả quan trọng.

 

KQ1: cho một khối tứ diện đều:

+ Trọng tâm của các mặt là đỉnh của một khối tứ diện đều khác.

+ Trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).

KQ2: Cho khối lập phương, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành 1 khối bát diện đều.

KQ3: Cho khối bát diện đều, tâm các mặt của nó sẽ tạo thành một khối lập phương.

KQ4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.

+ Ba đường chéo bằng nhau.

KQ5: một khối đa diện phải có tối thiểu 4 mặt.

KQ6: HÌnh đa diện có tối thiểu 6 cạnh.

KQ7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh.

II. Tổng hợp công thức hình học 12 thể tích khối đa diện.

1. Thể tích khối chóp:

 

2. Thể tích khối lăng trụ:

 

3. Thể tích khối hộp chữ nhật:

Chú ý rằng: hình lập phương là một hình hộp chữ nhật có 3 cạnh bằng nhau.

 

4. Công thức tỉ số thể tích

Chú ý đặc biệt: công thức về tỷ số thể tích chỉ được dùng cho khối chóp tam giác. Nếu gặp khối chóp tứ giác, ta cần chia nhỏ thành 2 khối chóp tam giác để áp dụng công thức này.

 

5. Công thức tính nhanh toán 12 một số đường đặc biệt:

 

Đường chéo của hình lập phương cạnh a có độ dài: SS

Cho hình hộp có độ dài 3 cạnh là a, b, c thì độ dài đường chéo là: 

Đường cao của tam giác đều cạnh a là: 

Ngoài ra, để tính thể tích khối đa diện, cần nhớ một số công thức toán hình phẳng về diện tích sau:

Cho tam giác vuông ABC tại A, xét đường cao AH. Khi đó:

Công thức tính diện tích tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c:

6. Công thức tính nhanh toán 12 thể tích khối đa diện thường gặp.

 

7. Công thức đặc biệt về tứ diện.

 

Trên đây là những tổng hợp của Kiến về công thức hình học 12 chuyên đề thể tích khối đa diện. Hy vọng thông qua bài viết, các bạn sẽ ôn tập, nâng cao được kiến thức của bản thân. Mỗi dạng toán đều cần sự đầu tư chỉnh chu, vì vậy ghi nhớ công thức một cách chính xác cũng là cách để cải thiện điểm trong từng bài thi. Ngoài ra các bạn cũng có thể tham khảo thêm những bài viết khác của Kiến để có thêm nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn may mắn